Googleの問題（その５）

Google研究所の問題
「三角形ABCに対して，点Pをとり，３つの三角形ABP，BCP，CAPの周の長さが等しくなるようにしたい。このような点が存在するとして，点Pを作図しなさい。」
の５回目です。大筋の解法は既に描きました。今日は，作図の詰めです。

最初に復習をしておきましょう。作図の筋書きは次の通りです。



三角形ABCの内接円の中心Iをとる。（これは角の二等分線の作図ができれば，それらの交点ですから基本中の基本ですね。）

Iから，３辺へ垂線を下ろしてその足をとる。（一点から直線への垂線の作図。これも基本中の基本ですね。）

A，B，C（各頂点）を中心として，垂線の足を通り互いに接する3つの円を描く。

※今日の御題　その3つの円に外接する円（の中心）を描く。（これが何故題意を満たすかは，昨日の記事を参照の事）

でした。さて，ではどのようにして，この３つの円に接する円を描くかです。
この問題は，ペルガのアポロニウス（小アジアの町ペルガ生まれ）という紀元前２〜３世紀のギリシャの数学者がまとめています。アポロニウスは昨日も書いたように「アポロニウスの円」の人です。

もちろん，数学の人ですから，３つの円に接する場合をきっちり場合分けしてまとめたようですが，今回必要なのは，３つの円に外接する場合です。



このような円の中心Xを中心として，例えば点Cを通る円を考えてみましょう。
このとき，

のような関係に気がつきます。つまり，「３つの円」に接するっていう丸い円が３つもある問題から，「１点を通り2つの円に接する円」という円が２つの問題にすり替えることができるわけです。この調子で，円を減らす事が出来れば，最終的には「三点を通る円」という作図の基本に到達できるのではないでしょうか。

そこで，次は，「１点を通り2つの円に接する円」を作図する方法が問題となります。
これについては，また次の稿で。

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