一応オリジナルかもしれない問題

　次の図のように，半円に内接してお互いに接する同じ半径の2つの円を考えます。半円の直径をABとし，中の2つの円の接点をPとし，中の2つの円のBに近い方の円と半円の接点をQとするとき，3点A,P,Qは一直線上に並ぶ事を証明しなさい。

　前出のアルキメデスの補題集を作っていた時に考えた（らしい）問題です（多分）。作った本人がすっかり忘れていますが，ファイルは忘れません。有り難い話です。出典は無かった筈です。適当に練習問題が要るよなあって思って作った問題のはず。なのですが・・・。もちろん解答なんかは付けていません。考えてみて下さいね。

　って中の円は同じ半径じゃないと駄目なのかなあ？

タグ：円 初等幾何 半円 直線上 接点

コメント 2

右側の小円の上半分の半円のなかに、
半円に接する同じ大きさのさらに小さい円を描きます。
すると、それはQを中心に小円を縮小したことになります。
つまり、Qを中心にAを縮小した点がPになるから
３点は１直線になります。

さて、では小円が同じ大きさでない場合にはどうなるか、
上に述べた証明をもとに考えるとすぐにわかります。
半円のなかに異なる大きさの互いに接する小円S,Tを
書き、（左がS、右がTとします）大きい半円の直径の左端を
A、小円どうしの接点をP、小円Tと半円の弧の接点をQと
します。
さて、大きい半円の直径と平行なTの直径の左の端点をP’と
すると、上にのべた証明と同じ原理で、
A,P',Qが一直線上になります。S,Tの大きさが異なるときは
P,P'が一致しないので、結局、A,P,Qは一直線ではありません。

若干、証明をはしょっていることをご容赦ください。
by Ototo (2008-08-08 11:51) 

読み返すと、最初の段落で、分かりにくい説明を書きました。
こう書いたほうがすっきりしますね。

右側の小円の上半分の半円は、Qを中心に大きい半円を
縮小したものになっています。このとき、Pは小半円の直径の
端点なので、つまり、Qを中心にAを縮小した点がPになるから
３点は１直線になります。
by Ototo (2008-08-08 11:56)