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複素数っていうのは,実数$a,\ b$があって,$i^2=-1$を満たす虚数単位$i$に対して
\[ z=a+bi \]
で定義される数。
演算は$ z=a+bi,\ w=c+di $に対して,加法と乗法は
\[ \times \]
\[ z+w=(a+c)+(b+d)i ,\ z \times w=(ac-bd)+(ad+bc)i \]
となるので,
\[ z+0=0+z=z,\ \ z\times 0=0\times z=0 \]
\[ z\times 1=1\times z=z \]
が成り立ち,
\[ z+(-z)=(-z)+z=0 \]
\[ z\ne 0のとき,\ z\times\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\times z=1 \]
も成り立ち,複素数体$\mathbb{C}$が定義されます。
特に乗法の逆元$z^{-1}$については,
\[ z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2} \]
ここで,複素数$z$の大きさを$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$,
$z$の共役複素数$\overline{z}$を$\overline{z}=a-bi$と定義しておけば,
\[ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} \]
となります。
2011-04-02 16:07
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